Persamaan haba dalam ruang satu dimensi

Persamaan pengaliran haba dalam satu dimensi untuk badan homogen mempunyai

u t = α u x x {\displaystyle u_{t}=\alpha u_{xx}}

dimana u(t,x) adalah haba, dan α ialah pemalar positif yang menggambarkan kadar penyebaran. Masalah Cauchy untuk persamaan ini terdiri daripada menentukan u(0, x)= f(x), di mana f(x) adalah fungsi sewenang-wenangnya.

Penyelesaian am bagi persamaan haba boleh didapati dengan kaedah pemisahan pembolehubah. Beberapa contoh muncul dalam persamaan haba artikel. Mereka adalah contoh siri Fourier untuk berkala f dan Fourier kerana bukan berkala f. Menggunakan jelmaan Fourier, penyelesaian am bagi persamaan haba mempunyai bentuk

u ( t , x ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( ξ ) e − α ξ 2 t e i ξ x d ξ , {\displaystyle u(t,x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }F(\xi )e^{-\alpha \xi ^{2}t}e^{i\xi x}d\xi ,\,}

dimana F adalah fungsi sewenang-wenangnya. Untuk memenuhi syarat awal, F diberikan oleh jelmaan Fourier dari f, iaitu

F ( ξ ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − i ξ x d x . {\displaystyle F(\xi )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\xi x}\,dx.\,}

Jika f merupakan satu sumber haba yang sangat kecil tetapi kuat, maka penting sebelumnya boleh dianggarkan oleh pengedaran delta, didarabkan dengan kekuatan sumber. Untuk sumber yang kekuatan adalah normal kepada 1, hasilnya adalah

F ( ξ ) = 1 2 π , {\displaystyle F(\xi )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},\,}

dan penyelesaian persamaan haba yang terhasil adalah

u ( t , x ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ e − α ξ 2 t e i ξ x d ξ . {\displaystyle u(t,x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha \xi ^{2}t}e^{i\xi x}d\xi .\,}

Ini adalah kamiran Gaussian. Ia boleh dinilai untuk mendapatkan

u ( t , x ) = 1 2 π α t exp ⁡ ( − x 2 4 α t ) . {\displaystyle u(t,x)={\frac {1}{2{\sqrt {\pi \alpha t}}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4\alpha t}}\right).\,}

Keputusan ini sepadan dengan ketumpatan kebarangkalian normal bagi x dengan min 0 dan varian 2α t. Persamaan haba dan persamaan penyebaran yang sama adalah alat yang berguna untuk mengkaji fenomena rawak.

Persamaan gelombang dalam ruang satu dimensi

Persamaan gelombang adalah satu persamaan untuk fungsi yang tidak diketahui u (t, x) dalam bentuk

u t t = c 2 u x x . {\displaystyle u_{tt}=c^{2}u_{xx}.}

Berikut u mungkin menggambarkan anjakan rentetan diregangkan dari keseimbangan, atau perbezaan dalam tekanan udara dalam tiub, atau magnitud medan elektromagnet dalam tiub, dan c adalah nombor yang sepadan dengan halaju gelombang. Masalah Cauchy untuk persamaan ini terdiri dalam menetapkan anjakan awal dan halaju tali atau medium yang lain:

u ( 0 , x ) = f ( x ) , {\displaystyle u(0,x)=f(x),} u t ( 0 , x ) = g ( x ) , {\displaystyle u_{t}(0,x)=g(x),}

di mana f dan g adalah fungsi sewenang-wenangnya diberikan. Penyelesaian masalah ini diberikan oleh formula d'Alembert:

u ( t , x ) = 1 2 [ f ( x − c t ) + f ( x + c t ) ] + 1 2 c ∫ x − c t x + c t g ( y ) d y . {\displaystyle u(t,x)={\tfrac {1}{2}}\left[f(x-ct)+f(x+ct)\right]+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}g(y)\,dy.}

Formula ini menunjukkan bahawa penyelesaian di (t, x) hanya bergantung kepada data pada segmen garis permulaan yang dipotong oleh keluk ciri

x − c t = pemalar, x + c t = pemalar , {\displaystyle x-ct={\text{pemalar,}}\quad x+ct={\text{pemalar}},}

yang telah disediakan ke belakang dari sudut itu. Lengkung ini sesuai dengan isyarat yang menyebarkan dengan halaju c ke hadapan dan ke belakang. Sebaliknya, pengaruh data pada salah satu diberikan pada garis permulaan merambat dengan halaju terhingga c: tiada kesan di luar segi tiga melalui tempat yang yang pihak adalah keluk ciri. Kelakuan ini adalah sangat berbeza daripada penyelesaian bagi persamaan haba, di mana kesan daripada sumber titik muncul (dengan amplitud kecil) serta-merta pada setiap titik di ruang angkasa. Penyelesaian yang diberikan di atas adalah juga sah jika t<0, dan formula yang jelas menunjukkan bahawa penyelesaian yang lancar bergantung kepada data: kedua-dua ke hadapan dan ke belakang masalah Cauchy bagi persamaan gelombang yang dikemukakan dengan baik.

Persamaan haba yang umum seperti dalam ruang satu dimensi

Jika persamaan seperti haba bermakna persamaan dalam bentuk:

∂ u ∂ t = H ^ u + f ( x , t ) u + g ( x , t ) {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\hat {H}}u+f(x,t)u+g(x,t)}

di mana H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} adalah pengoperasi Sturm-Liouville (Walau bagaimanapun ia harus diperhatikan operator ini mungkin sebenarnya bentuk

1 w ( x ) ( d d x ( p ( x ) d d x ) + q ( x ) ) {\displaystyle {\frac {1}{w(x)}}\left({\frac {d}{dx}}\left(p(x){\frac {d}{dx}}\right)+q(x)\right)}

di mana w (x) adalah rangkap pemberat berkenaan dengan mana fungsi eigen bagi H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} adalah ortogon) dalam koordinat x. Tertakluk kepada syarat sempadan:

u ( x , 0 ) = h ( x ) . {\displaystyle u(x,0)=h(x).}

Kemudian:

Jika:

H ^ X n = λ n X n {\displaystyle {\hat {H}}X_{n}=\lambda _{n}X_{n}} X n ( a ) = X n ( b ) = 0 {\displaystyle X_{n}(a)=X_{n}(b)=0} a ˙ n ( t ) − λ n a n ( t ) − ∑ m ( X n f ( x , t ) , X m ) a m ( t ) = ( g ( x , t ) , X n ) {\displaystyle {\dot {a}}_{n}(t)-\lambda _{n}a_{n}(t)-\sum _{m}(X_{n}f(x,t),X_{m})a_{m}(t)=(g(x,t),X_{n})} a n ( 0 ) = ( h ( x ) , X n ) ( X n , X n ) {\displaystyle a_{n}(0)={\frac {(h(x),X_{n})}{(X_{n},X_{n})}}} u ( x , t ) = ∑ n a n ( t ) X n ( x ) {\displaystyle u(x,t)=\sum _{n}a_{n}(t)X_{n}(x)}

di mana

( f , g ) = ∫ a b f ( x ) g ( x ) w ( x ) d x . {\displaystyle (f,g)=\int _{a}^{b}f(x)g(x)w(x)\,dx.}

Gelombang Sfera

Gelombang sfera adalah gelombang yang amplitud hanya bergantung kepada jarak jejarian r dari pusat sumber titik. Untuk gelombang itu, persamaan gelombang tiga dimensi mengambil bentuk

u t t = c 2 [ u r r + 2 r u r ] . {\displaystyle u_{tt}=c^{2}\left[u_{rr}+{\frac {2}{r}}u_{r}\right].}

Ini adalah bersamaan dengan

( r u ) t t = c 2 [ ( r u ) r r ] , {\displaystyle (ru)_{tt}=c^{2}\left[(ru)_{rr}\right],}

dan oleh itu kuantiti ru memuaskan persamaan gelombang satu dimensi. Oleh itu penyelesaian am bagi gelombang sfera mempunyai bentuk

u ( t , r ) = 1 r [ F ( r − c t ) + G ( r + c t ) ] , {\displaystyle u(t,r)={\frac {1}{r}}\left[F(r-ct)+G(r+ct)\right],}

di mana F dan G adalah benar-benar fungsi sewenang-wenangnya. Sinaran daripada antena sepadan dengan kes di mana G adalah sifar. Oleh itu bentuk gelombang yang dipancarkan dari antena tidak mempunyai penyelewengan dalam masa: satu-satunya faktor memesongkan adalah 1/r. Ciri penyebaran tidak terpesong gelombang tidak hadir jika terdapat ruang dua dimensi.

Persamaan Laplace dalam dua dimensi

Persamaan Laplace untuk fungsi yang tidak diketahui bagi dua pembolehubah φ mempunyai bentuk

φ x x + φ y y = 0. {\displaystyle \varphi _{xx}+\varphi _{yy}=0.}

Penyelesaian persamaan Laplace dipanggil fungsi harmonik.

Hubungan dengan fungsi holomorfik

Penyelesaian persamaan Laplace dalam dua dimensi yang berkait rapat dengan fungsi analisis pembolehubah kompleks (juga dikenali sebagai fungsi holomorfik): bahagian nyata dan khayalan apa-apa fungsi analisis adalah fungsi konjugat harmonik: kedua-dua fungsi memenuhi persamaan Laplace , dan kecerunan fungsi ortogon. Jika f=u+iv, maka persamaan Cauchy-Riemann menyatakan bahawa

u x = v y , v x = − u y , {\displaystyle u_{x}=v_{y},\quad v_{x}=-u_{y},\,}

dan diikuti dengan

u x x + u y y = 0 , v x x + v y y = 0. {\displaystyle u_{xx}+u_{yy}=0,\quad v_{xx}+v_{yy}=0.\,}

Sebaliknya, memberi apa-apa fungsi harmonik dalam dua dimensi, ia adalah sebahagian sebenar fungsi analisis, sekurang-kurangnya dalam cara tersendiri. Butir-butir yang lain diberikan dalam persamaan Laplace.

Sebuah masalah nilai sempadan biasa

Sebuah masalah biasa bagi persamaan Laplace adalah untuk mencari penyelesaian yang memenuhi nilai sewenang-wenangnya di sempadan sebuah domain. Sebagai contoh, kita boleh mendapatkan fungsi harmonik yang mengambil nilai-nilai u(θ) pada bulatan berjejari satu. Penyelesaian telah diberikan oleh Poisson:

φ ( r , θ ) = 1 2 π ∫ 0 2 π 1 − r 2 1 + r 2 − 2 r cos ⁡ ( θ − θ ′ ) u ( θ ′ ) d θ ′ . {\displaystyle \varphi (r,\theta )={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {1-r^{2}}{1+r^{2}-2r\cos(\theta -\theta ')}}u(\theta ')d\theta '.\,}

Petrovsky (1967, p. 248) menunjukkan bagaimana formula ini boleh diperolehi dengan menjumlahkan siri Fourier untuk φ. Jika r<1, derivatif φ boleh dikira dengan membezakan di bawah tanda penting, dan satu boleh mengesahkan φ yang dianalisis, walaupun u adalah berterusan tetapi tidak semestinya berbeza. Kelakuan ini adalah khas untuk penyelesaian persamaan pembeza separa eliptik: penyelesaian yang boleh menjadi lebih lancar daripada data sempadan. Ini berbeza dengan penyelesaian berkenaan persamaan gelombang, dan lebih umum persamaan pembezaan separa hiperbola, yang biasanya tidak mempunyai lebih terbitan (matematik) daripada data.

Persamaan Euler-Tricomi

The persamaan Euler-Tricomi yang digunakan dalam penyiasatan transonik aliran.

u x x = x u y y . {\displaystyle u_{xx}=xu_{yy}.}

Persamaan olahan

The persamaan olahan menerangkan pengangkutan yang ψ skalar dipelihara dalam bidang halaju 'u' = (u, v, w). Ia adalah:

ψ t + ( u ψ ) x + ( v ψ ) y + ( w ψ ) z = 0. {\displaystyle \psi _{t}+(u\psi )_{x}+(v\psi )_{y}+(w\psi )_{z}=0.}

Jika medan halaju adalah solenoidal (iaitu, ∇⋅u), maka persamaan itu boleh dipermudahkan kepada

ψ t + u ψ x + v ψ y + w ψ z = 0. {\displaystyle \psi _{t}+u\psi _{x}+v\psi _{y}+w\psi _{z}=0.}

Dalam kes satu dimensi di mana u tidak berterusan dan adalah sama dengan ψ, persamaan yang disebut sebagai persamaan Burger.

Persamaan Ginzburg-Landau

The Ginzburg-Landau persamaan yang digunakan dalam model superconductivity. Ia adalah

i u t + p u x x + q | u | 2 u = i γ u {\displaystyle iu_{t}+pu_{xx}+q|u|^{2}u=i\gamma u}

mana p,q ∈ C dan γ ∈ R adalah pemalar dan i adalah unit khayalan.

Persamaan Dym

Persamaan Dym dinamakan sempena nama Harry Dym dan berlaku dalam kajian soliton. Ia adalah

u t = u 3 u x x x . {\displaystyle u_{t}\,=u^{3}u_{xxx}.}

Masalah nilai awal sempadan

Banyak masalah-masalah matematik fizik dirumuskan sebagai masalah nilai awal sempadan.

Getaran tali

Jika tali diregangkan antara dua titik di mana x= 0 dan x=L dan u' menandakan amplitud anjakan tali, maka u memuaskan persamaan gelombang satu dimensi di rantau ini di mana 0 < x < L dan t adalah tidak terhad. Sejak tali itu terikat di hujung, u juga mesti memenuhi syarat-syarat sempadan

u ( t , 0 ) = 0 , u ( t , L ) = 0 , {\displaystyle u(t,0)=0,\quad u(t,L)=0,}

serta keadaan awal

u ( 0 , x ) = f ( x ) , u t ( 0 , x ) = g ( x ) . {\displaystyle u(0,x)=f(x),\quad u_{t}(0,x)=g(x).}

Kaedah pemisahan pembolehubah bagi persamaan gelombang

u t t = c 2 u x x , {\displaystyle u_{tt}=c^{2}u_{xx},\,}

membawa kepada penyelesaian bentuk

u ( t , x ) = T ( t ) X ( x ) , {\displaystyle u(t,x)=T(t)X(x),\,}

di mana

T ″ + k 2 c 2 T = 0 , X ″ + k 2 X = 0 , {\displaystyle T''+k^{2}c^{2}T=0,\quad X''+k^{2}X=0,\,}

di mana pemalar k mesti ditentukan. Keadaan sempadan seterusnya membayangkan bahawa X adalah pelbagai sin kx, dan k mesti mempunyai bentuk

k = n π L , {\displaystyle k={\frac {n\pi }{L}},}

di mana n adalah integer. Setiap istilah dalam jumlah yang sepadan dengan mod getaran tali. Mod dengan n= 1 dipanggil mod asas, dan kekerapan kaedah lain semua gandaan frekuensi ini. Mod itu membentuk siri nada lampau tali, dan mereka adalah asas untuk akustik muzik. Keadaan awal kemudian boleh berpuas hati dengan mewakili f dan g sebagai jumlah mod yang tidak terhingga. Instrumen angin biasanya sesuai dengan getaran kolum udara dengan satu hujung terbuka dan satu hujung ditutup. Keadaan sempadan adalah sama

X ( 0 ) = 0 , X ′ ( L ) = 0. {\displaystyle X(0)=0,\quad X'(L)=0.}

Kaedah pemisahan pembolehubah juga boleh digunakan dalam kes ini, dan ia membawa kepada satu siri nada ganjil.

Masalah umum jenis ini diselesaikan dalam teori Sturm-Liouville.

Getaran membran

Jika membran itu menjangkau lebih keluk C yang membentuk sempadan domain D dalam pesawat, getaran yang ditadbir oleh persamaan gelombang

1 c 2 u t t = u x x + u y y , {\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}u_{tt}=u_{xx}+u_{yy},}

jika t>0 dan (x,y) is in D. Keadaan sempadan adalah u(t,x,y) = 0 jika (x,y) adalah pada C. Kaedah pemisahan pembolehubah membawa kepada bentuk

u ( t , x , y ) = T ( t ) v ( x , y ) , {\displaystyle u(t,x,y)=T(t)v(x,y),}

yang seterusnya mesti memenuhi

1 c 2 T ″ + k 2 T = 0 , {\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}T''+k^{2}T=0,} v x x + v y y + k 2 v = 0. {\displaystyle v_{xx}+v_{yy}+k^{2}v=0.}

Persamaan kedua dipanggil persamaan Helmholtz. Pemalar k mesti ditentukan untuk membenarkan v bukan trivial untuk memenuhi keadaan sempadan pada C. Nilai apa-apa k2 dipanggil eigen Laplace dalam D, dan penyelesaian yang bersekutu adalah fungsi eigen bagi Laplace dalam D. Teori Sturm-Liouville boleh dilanjutkan kepada masalah nilai eigen eliptik (Jost, 2002).

Contoh lain

The persamaan Schrödinger adalah PPS di tengah-tengah tak kerelatifan mekanik kuantum. Dalam anggaran WKB, ia adalah persamaan Hamilton-Jacobi.

Kecuali bagi persamaan Dym dan persamaan Ginzburg-Landau, persamaan di atas adalah lelurus dalam erti kata bahawa persamaan itu boleh ditulis dalam bentuk Au = f untuk diberikan operator lelurus A dan fungsi yang diberikan f. Persamaan bukan lelurus lain yang penting termasuk persamaan Navier-Stokes yang menerangkan aliran cecair, dan persamaan bidang Einstein dari relativiti umum.

Lihat juga senarai persamaan pembezaan separa bukan lelurus.